以下是Google chrome插件请求跨域失败的快速排查方法：
1. 检查跨域设置：查看目标服务器是否已正确配置CORS（跨域资源共享）。在浏览器中访问目标URL，查看响应头中的Access-Control-Allow-Origin字段，确认是否允许当前插件所在的域名或使用了通配符*。若未设置或设置不正确，需联系目标服务器管理员进行配置。
2. 审查插件自身配置：检查插件的manifest.json文件，确保其中声明的权限（permissions）包含了需要跨域访问的域名。同时，若插件使用了background脚本处理网络请求，确认相关代码逻辑是否正确，包括请求方式（GET、POST等）、请求头（Headers）的设置是否符合目标服务器的要求。
3. 尝试使用代理：可考虑通过配置代理服务器来解决跨域问题。代理服务器可以转发请求，并在转发过程中处理跨域相关的逻辑。但需要注意代理服务器的性能和稳定性，以及可能带来的安全风险。
4. 检查网络连接和防火墙设置：确保网络连接正常，没有因网络故障导致请求无法到达目标服务器。同时，检查本地防火墙或网络安全软件的设置，确认是否阻止了插件的跨域请求。可尝试暂时关闭防火墙或添加例外规则，允许插件的相关网络活动。
5. 利用浏览器开发者工具调试：打开Chrome浏览器的开发者工具（按F12键或右键点击页面选择“检查”），在“Network”选项卡中查看跨域请求的详细信息，包括请求头、响应头、状态码等。通过分析这些信息，可以更准确地判断问题所在，例如是否是请求被拦截、目标服务器返回了错误的状态码等。